докажите, что если диагонали четырех угольника перпендикулярны, то середины сторон являются вершинами прямоугольника

Если соединить середины сторон четырехугольника, у которого диагонали перпендикулярны, то получатся прямые, параллельные диагоналям четырехугольника, а следовательно они тоже пересекаются под прямым углом => получаем прямоугольник.