В правильной треугольной пирамиде боковые ребра равны l и наклонены к основанию под углов b. Найти угол между смежными боковыми гранями  и высоту пирамиды.

РЕШЕНИЕ

Пирамида называется правильной, если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.

-боковые ребра правильной пирамиды равны;

-все боковые грани — равные равнобедренные треугольники

высота пирамиды Н=l*sin(b)

основание пирамиды равносторонний треугольник

все углы равны - 60 град

все стороны равны   -а

ВК - медиана, биссектриса, высота

ВО=l*cos(b)

BO=2/3*BK

BK=3/2*BO=3/2* l*cos(b)

сторона основания  a =BK/sin60=3/2* l*cos(b)/(√3/2)= √3*l*cos(b)

высота боковой грани SM=√(SB^2-MB^2)=√(l^2-(a/2)^2)=√(l^2-((√3*l*cos(b))/2)^2)=

=1/2*l*√(4-3cos^2(b))

выразим ПЛОЩАДЬ треугольника SDB

- через ВЫСОТУ  и ОСНОВАНИЕ двумя способами

S =1/2*BD*SM =1/2*SB*DF

тогда имеем отношение BD*SM =SB*DF  =>  DF= BD*SM /SB

h=DF=a* 1/2*l*√(4-3cos^2(b)) / l =√3*l*cos(b) *1/2*l*√(4-3cos^2(b)) / l=

=√3/2 *l*cos(b)√(4-3cos^2(b))

теорема косинусов

a^2 = h^2+h^2-2h^2*cosA =2h^2(1-cosA)

cosA=1 - a^2 / (2*h^2)

cosA =1- (√3*l*cos(b))^2 / (2*√3/2 *l*cos(b)√(4-3cos^2(b)))^2 = 1 - 1 / (4-3cos^(b))

A = arccos (1 - 1 / (4-3cos^(b)) )

Ответ  < A = arccos (1 - 1 / (4-3cos^(b)) )  ; Н=l*sin(b)