Дан куб АВСDA1B1C1D1 с ребром а=4 см. Точки М и К – середины ребер АВ и СС1 соответственно. Найдите:

а) длину МК;

б) угол между прямыми AD1 и А1К.

 

РЕШЕНИЕ

сделаем построение по условию

а)

т М1 - середина DC

MM1=AD= 4см

KC=M1C=DC/2=4/2=2 см

<MM1K=90

по теореме Пифагора

M1K=√(M1C^2+KC^2)=√(2^2+2^2)=2√2 см

по теореме Пифагора

длина MK=√(MM1^2+M1K^2)=√(4^2+(2√2)^2)=2√6 см

ОТВЕТ  длина MK=2√6 см

б)

дополнительные построения

параллельный перенос  AD1  в A2A1

A2A=AD=4 см

угол <A2A1K - равен углу между прямыми AD1 и А1К

A1C1=A2A1=AD1=√(4^2+4^2)=4√2 см

A1K=√(A1C1^2+KC1^2)= √((4√2 )^2+2^2)=6 см

DK=√(2^2+4^2)=2√5 см

A2K=√(DK^2+A2D^2)=√( (2√5)^2+8^2)=2√21 см

по теореме косинусов

A2K^2 = A2A1^2+A1K^2-2*A2A1*A1K*cos<A2A1K

(2√21)^2=(4√2)^2+6^2 -2*4√2*6* cos<A2A1K

84=32+36-48√2* cos<A2A1K

cos<A2A1K=16 /(-48√2)=- 1/(3√2)=- √2/6

<A2A1K =arccos (- √2/6)

ОТВЕТ  угол между прямыми AD1 и А1К =  arccos (- √2/6)