1)Концы отрезка АВ лежат по разные стороны относительно плоскости альфа. Через точки А, В и середину отрезка АВ (точка М) проведены параллельные прямые , пересекающие плоскость альфа в точка А1, В1, М1. Вычислите ММ1 если АА1=6 см, ВВ1=4см. 2)Катет ВС прямоугольного треугольника АВС лежит в плоскости альфа. Вершина А удалена от неё на 2 корень из 2-х дм. ВС=АС=4 дм. Вычислите угол между плоскостью альфа и прямой: 1)АС;2)АВ 3)Ребро куба АВСDA1B1C1D1 равно 24 см. Точка К-середина ребра ВВ1. Через К проведена плоскость альфа, параллельная плоскости ВС1А1. 1)Постройте отрезок,который лежит в плоскости альфа и в грани АВВ1А1;2)Постройте сечение куба плоскостью альфа.;3)Вычислите площадь сечения.

1. Пусть АВ ∩ α = О.Прямые АА₁, ВВ₁, ММ₁ лежат в одной плоскости, которая пересекает плоскость α по прямой А₁В₁. Т.е. точки А₁, О, М₁, В₁ лежат на одной прямой.ΔВВ₁О подобен ΔАА₁О по двум углам (углы при вершине О равны как вертикальные, ∠АА₁О = ∠ВВ₁О как накрест лежащие при пересечении АА₁║ВВ₁ секущей А₁В₁), значитВО : ОА = ВВ₁ : АА₁ = 4 : 6 = 2 : 3ОА = 3/5 АВАМ = 1/2 АВОМ = ОА - АМ = 6/10 АВ - 5/10 АВ = 1/10 АВ.МО/АО = 1/10 / (3/5) = 1/6ΔОММ₁ подобен ΔОАА₁ по двум углам (угол О общий, ∠ОММ₁ = ∠ОАА₁ как соответственные при пересечении ММ₁║АА₁ секущей АО), значитММ₁ : АА₁ = МО : АО = 1 : 6ММ₁ = АА₁/6 = 1 см.2. Проведем АН⊥α. Тогда АН = 2√2 дм, и СН - проекция АС на α, ВН - проекция АВ на α.Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.∠(АС; α) = ∠АСН∠(АВ; α) = ∠АВНΔАСН: ∠АНС = 90°             sin∠ACH = AH/AC = 2√2/4 = √2/2∠ACH = 45°.АВ = 4√2 дм как гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника.ΔАВН: ∠АНВ = 90°,              sin∠ABH = AH/AB = 2√2/(4√2) = 1/2∠ABH = 30°3. Параллельные плоскости пересекают третью плоскость по параллельным прямым.1) Плоскость ВС₁А₁ и параллельная ей плоскость α пересекают плоскость грани АА₁В₁В по параллельным прямым. Поэтому в этой грани строим среднюю линию треугольника ВА₁В₁ - KL, которая параллельна ВА₁.KL - это отрезок, который лежит в плоскости α и в грани АА₁В₁В.2) Проведем среднюю линию треугольника ВВ₁С₁ - КМ, она параллельна  ВС₁.KLM - искомое сечение. Оно проходит через точку К и параллельно ВС₁А₁ (так как две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости).3) ВС₁А₁ - равносторонний треугольник, так как его стороны являются диагоналями равных квадратов.ВС₁ = С₁А₁ = А₁В₁ = 24√2 смSbc₁a₁ = BC₁²√3/4 = 576·2·√3/4 = 288√3 см²ΔKLM подобен ΔВС₁А₁ по трем сторонам (стороны треугольника KLM в два раза меньше соответствующих сторон треугольника ВС₁А₁ как средние линии соответствующих треугольников).k = 1/2.Sklm = Sbc₁a₁ · k² = 288√3/4 = 72√3 см²