тема замечательные точки треугольника доказать что любая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон теорема 19

Пусть АВС - данный треугольник. ВК - биссектрисса угла В, пусть Р -произвольная точка на биссектриссе ВК. Опустим перпендикуляры на лучи ВА и ВС. Пусть Е и Т - точки оснований. По определению ЕР и ТР - расстояния от точки Р до сторон ВА и ВС.

Докажем, что ВА=ВС (т.е. требуемое утверждение)

Треугольники РВЕ и РВТ равные, как прямоугольные треугольники с одинаковыми гипотенузами РВ=РВ и равными острыми углами (угол РВЕ=угол РВТ - из определения биссектриссы). Из равенства треугольников следует равенство их сторон

ВА=ВС.

Таким образом

любая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон. Доказано