Установите, будет ли четырёхугольник с вершинами А(6; 7; 8;), В(8; 2; 6), С(4; 3; 2), D(2; 8; 4) параллелограммом? Если "да", то будет ли ромбом? Если "да", то будет квадратом?

Найдем координаты векторов АВ, ВС, CD, AD (из координат конца вычитаем координаты начала)

АВ{2;-5;-2}

BC{-4;1;-4}

CD{-2;5;2}

AD{-4;1;-4}

AB и CD коллинеарны, т.е стороны AB||CD

BC  и AD коллинеарны, т.е стороны BC||AD

 А значит ABCD параллелограмм по определению.

Найдем дины сторон

АВ=√2²+(-5)²+(-2)²=√33

BC=√(-4)²+1²+(-4)²=√33

CD=√(-2)²+5²+2²=√33

AD=√(-4)²+1²+(-4)²=√33

так как длины сторон равны, то это ромб

Для определения квадрат это или нет достаточно посчитать скалярное произведение двух векторов, например, АВ и ВС. Если скалярное произведение получится равное 0, то угол между сторонами АВ и ВС будет прямой. Проверим

АВ·ВС=2*(-4)+(-5)*1+(-2)*(-4)=-8-5+8=-5 следовательно они не перпендикулярны, т.е. АВСD не является квадратом.