Одна из сторон треугольника равна 1, а два его угла равны 30 и 135. Найдите все значения, которые может принимать площадь треугольника.

Сумма внутренних углов треугольника равна 180°. Следовательно, третий угол  равен 180° - 135° - 30° = 15°.  Пусть треугольник АВС и его углы <A=30°, <B=135° и <C=15°. Отметим, что Sin135°=Sin(180-45)=Sin45°  и что Sin15° ≈ 0,259.

1. Предположим, что сторона АС, лежащая против угла 130°, равна 1. Тогда по теореме синусов найдем сторону ВС: ВС=Sin30°/Sin135° = Sin30°/Sin45° или ВС=(1/2):(√2/2) = 1/√2 = √2/2 ≈ 0,707.  Тогда, так как Sin15°≈0,259, Sabc=(1|2)*AC*BC*Sin15° ≈ 0,09 ед.

2. Предположим, что сторона BС, лежащая против угла 30°, равна 1. Тогда по теореме синусов найдем сторону AС: AС=Sin135°/Sin30° = Sin45°/Sin30° или AС=(√2/2):(1/2) = √2  ≈ 1,41.  Тогда Sabc=(1|2)*AC*BC*Sin15° ≈ 0,18 ед.

3) Предположим, что сторона AB, лежащая против угла 15°, равна 1. Тогда по теореме синусов найдем сторону AС: AС=Sin135°/Sin15° = Sin45°/Sin15° или AС=(√2/2):0,259  ≈ 2,73.  Тогда Sabc=(1|2)*AC*AB*Sin30° ≈ 0,68 ед.

Ответ: площадь треугольника может принимать три значения: 0,09 ед, 0,18 ед и 0,68 ед.