В правильной четырехугольной пирамиде РАВСD каждое ребро равно 12. На
ребре РС отмечена точка К так, что РК:КС=1:3.
а) Докажите, что линия пересечения плоскостей АВК и РСD параллельна плоскости
АВС.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью АВК.

Построим сечение пирамиды плоскостью ABK. K∈ грани PCD.1) Отметим для определенности вершины основания пирамиды таким образом:На заднем плане слева направо D и A, на переднем слева направо C и BAB паралл CD. CD∈PCD. AB∉PCD. Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости. Значит, AB парал плоскости PCD. Или грань PCD парал AB.Точка K∈PCD. В этом случае секущая плоскость будет пересекать эту грань по отрезку KL парал следу AB. L∈PD⇒ABKL - секущая плоскость. Это будет равнобедренная трапецияKL - линия пересечения плоскостей ABK и PCD.KL∉ABC - плоскости основания пирамидыKL парал AB - по построениюAB∈ плоскости ABC⇒KL парал ABC по выше указанной теореме.2) Нужно найти площадь ABKL. Отметим точки и соединим их:E - середина KL; N - середина AB. EN - высота трапеции.S=1/2(KL+AB)*ENAB=12 - по условиюa) Для нахождения KL рассмотрим тр-ки PCD и PKL. Они подобны. Из подобия записываем пропорциональность сторон:CD:KL=PC:PK РК:КС=1:3⇒PC:CK=4:1⇒CD:KL=4:1⇒KL=1/4*CD=1/4*12=3Итак, KL=3б) Теперь займемся поиском EN.Проведем апофемы PM и PN, где PM∈ грани PCD, PN∈ грани PABO - центр основания (точка пересечения диагоналей AC и BD)Соединим точки M и N. O∈MN. MN=12Так как каждое ребро равно 12, то боковые грани - равносторонние тр-киАпофемы - высоты равносторонних тр-ков. Если a - сторона правильного тр-ка, то a√3/2 - его высота. Значит, PM=PN=12*√3/2=6√3Построим отдельно тр-ник MPN. Он  - равнобедренный Соединяем точки E и N.PO - его высота. MO=ON=6⇒по теореме ПифагораPO^2=PM^2-MO^2=(6√3)^2-6^2=6^2(3-1)=36-2=72⇒PO=√72=√36*2=6√2Проведем EF парал PO. Тогда EN можно найти из тр-ка EFN. Для этого нужно знать длины отрезков EF и FN.Из подобия выше рассмотренных тр-ков PM:PE=4:1Рассмотрим тр-ки OMP и FME. Они подобны⇒MP:ME=PO:EF=MO:MFMP:ME=4:3⇒EF=3/4*PO=3/4*6√2=9/2*√2; MF=3/4*MO=3/4*6=9/2FN=FO+ON=OM-MF+ON=MN-MF=12-9/2=15/2EN^2=EF^2+FN^2=(9/2*√2)^2+(15/2)^2=(3/2)^2*3^2*2+(3/2)^2*5^2==(3/2)^2*(18+25)=43*(3/2)^2⇒EN=3/2*√43 - высота трапецииS=1/2(KL+AB)*EN=1/2*(3+12)*3/2*√43=45√43/4Ответ: S=45√43/4