Аня нарисовала квадрат ABCD. Затем она построила равносторонний треугольник ABM так, что вершина M оказалась внутри квадрата. Диагональ AC пересекает треугольник в точке K. Докажите, что CK = CM.

Ответы 1

Очевидно что вершина $M$ будет симметрична относительно сторона $AD;BC$ , и будет лежать на одной прямой с точкой пересечения диагоналей. Положим что сторона квадрата равна $x$ . Так как треугольник $ABM$ - равносторонний , следует что $MBC=90а-60а=30а$ , $BCK= \frac{90а}{2}=45а$ . $AM=BM=x$ $BK=x*\frac{sin45а}{sin(180а-45а-30а)}=(\sqrt{3}-1)x$ Тогда $MK=x-BK=x(2-\sqrt{3})$ $BH=\frac{2x}{\sqrt{3}}\\ HC=\frac{x}{\sqrt{3}}$ то есть $HM=BH-x=\frac{x(2-\sqrt{3})}{\sqrt{3}}$ откуда $CM=\sqrt{2-\sqrt{3}}x$ Теперь положим что $CK=CM$ верно , тогда должно выполнятся условие $KCM+MCH=45а$ найдем эти углы по теореме косинусов подставим известные величины $MK^2=2CK^2-2CK^2*cosKCM\\ HM^2=CK^2+HC^2-2*CK*HC*cosMCH$ откуда $KCM+MCH=arccos\frac{\sqrt{3}}{2}+arccos(\frac{1}{2*\sqrt{2-\sqrt{3}}}) =30а+15а=45а$ то есть условия выполняются , то есть наше изначальное предположение было верно $CK=CM$
- Автор:
  mirabelhayl
- 5 лет назад
- 0
Добавить свой ответ