Падает ли в осадок BA(OH)2

Нет. Не смотря на то, что барий элемент второй группы, его основание - BA(OH)2 является сильным электролитом, хорошо растворяющимся в воде. BA(OH)2  также называют едким баритом.

То, что этот электролит  полностью растворим в воде подтверждает и Таблица растворимости кисло и оснований в воде. На пересечении Ва  (+2) и ОН (-1) находим букву Р (растворим).