Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, ... x7, y1, y2, ... y7, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?

(x1→x2) ∧ (x1→y1) = 1

(x2→x3) ∧ (x2→y2) = 1

…

(x6→x7) ∧ (x6→y6) = 1

(x7→y7) = 1

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, x2, ... x7, y1, y2, ... y7 при которых выполнена данная система равенств.

В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

РЕШИТЬ ЧЕРЕЗ МЕТОД ОТОБРАЖЕНИЯ

Возьмем первое условие (x1→x2) ∧ (x1→y2) = 1. Преобразовав импликации, получим: (¬x1 ∨ x2) ∧ (¬x1 ∨ y1) = 1. Уравнение выполняется тогда и только тогда, когда (¬x1 ∨ x2) = 1 и (¬x1 ∨ y1) = 1.

Таким образом, в двух наборах из 8 цифр x1, x2, ... x7, y1, y2, ... y7, действуют правила:

1. После единицы идут только единицы.

2. После нуля идут нули или единицы.

Тогда получаем такой набор для x1, x2, ... x7 для таких условий условий (x1→x2)=1; (x2→x3)=1 ... (x6→x7)=1:

0000000

0000001

0000011

0000111

0001111

0011111

0111111

1111111

Остается найти возможные значения y после соответствующих значений x для таких условий (x1→y1)=1; (x2→y2)=1 ... (x7→y7)=1:

Тут действуют те же два правила, а это значит, что в каждом наборе, где значение x = 0, соответствующий y может быть, либо 1, либо 0.

Поэтому, первому набору x: 0 0 0 0 0 0 0 соответствующий y может быть равен 1 или 0. Имеем 2⁷= 128 наборов y.

Набору 0 0 0 0 0 0 1 приходится 2⁶ = 64 наборов y. Чтобы получить ответ, суммируем значения степеней двойки с семи до нуля:

2⁷ + 2⁶ + 2⁵ + 2⁴ + 2³ + 2² + 2 + 1 = 255.

Ответ: 255.