Задача с ЕГЭ по информатике. Система логических уравнений:
{ (x1 -> x2) /\ (x2 -> x3) /\(x3 -> x4) /\ (x4 -> x5) /\ (x5 -> x6) /\ (x6 -> x7) = 1
{ (~x1 V y1 V z1) /\ (x1 V ~y1 V z1) /\ (x1 V y1 V ~z1) = 1
{ (~x2 V y2 V z2) /\ (x2 V ~y2 V z2) /\ (x2 V y2 V ~z2) = 1
{ (~x3 V y3 V z3) /\ (x3 V ~y3 V z3) /\ (x3 V y3 V ~z3) = 1
{ (~x4 V y4 V z4) /\ (x4 V ~y4 V z4) /\ (x4 V y4 V ~z4) = 1
{ (~x5 V y5 V z5) /\ (x5 V ~y5 V z5) /\ (x5 V y5 V ~z5) = 1
{ (~x6 V y6 V z6) /\ (x6 V ~y6 V z6) /\ (x6 V y6 V ~z6) = 1
{ (~x7 V y7 V z7) /\ (x7 V ~y7 V z7) /\ (x7 V y7 V ~z7) = 1
Пояснения:
здесь (x -> y) - это операция "Импликация".
~x - это НЕ x, то есть отрицание x.
1 - это логическое 1, то есть Истина.

Внимание, вопрос: сколько различных решений имеет эта система?
Решением является набор (x1; x2; ...; x7; y1; y2; ...; y7; z1; z2; ...; z7).
Правильный ответ я знаю: 6305. Ваша задача - его получить.

Первое уравнение системы – это несколько условий, соединённых конъюнкциями. Чтобы такая последовательность условий была истинной, каждое условие должно быть истинным. Заметим, что если какой-то икс оказался равен 1, то все последующие иксы тоже должны быть равны нулю, так как 1 -> 0 = 0.

Остальные уравнения имеют одинаковый вид (a ∨ b ∨ ~c) ∧ (a ∨ ~b ∨ c) ∧ (~a ∨ b ∨ c) = 1. Вновь каждая скобка должна быть истинной. Прикинем, когда так будет.

Пусть a = 1. При этом первые две скобки автоматически истинны, а третья превращается в b ∨ c, что будет истинно, если хотя бы одна из переменных b, c истинна. В этом случае есть 3 комбинации (b, c), при которых уравнение выполняется (все, кроме 0, 0).

Если a = 0, то истинна третья скобка, первые две превращаются в (b ∨ ~c) ∧ (~b ∨ c). В таком выражении можно разглядеть (c -> b) ∧ (b -> c), т.е. эквиваленцию b ↔ c. Она верна, только если операнды одинаковы, тогда есть две комбинации (b, c), при которых уравнение выполняется: (0, 0) и (1, 1).

Собираем вместе: решение первого уравнения – первые k иксов равны 0, оставшиеся 7 - k иксов равны 1. Все оставшиеся уравнения зависимы только через иксы, если соответствующий икс равен 0, то такое уравнение имеет 2 решения, иначе 3 решения. По правилу произведения система при фиксированном k имеет 2^k * 3^(7 - k) = 3^7 * (2/3)^k решений.

Чтобы найти общее количество решений, нужно просуммировать при k от 0 до 7. В этом поможет сумма геометрической прогрессии:

3^7 * ((2/3)^0 + (2/3)^1 + ... + (2/3)^7) = 3^7 * (1 - (2/3)^8)/(1 - 2/3) = 3^8 - 2^8 = 6305.

1-ое уравнение:

(x1→x2)*(x2→x3)*(x3→x4)*(x5→x6)*(x6→x7)=1 решения:

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 1 1

0 0 0 0 1 1 1

0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 1 1 1

0 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1

-----------------------------------------------------

2-ое уравнение ( и все последующие) решение:

при x1=0 (для последующих уравнений х2=0; х3=0 и т.д.)

x1 y1 z1

0 0 0

0 1 1 всего два решения

при х1=1

x1 y1 z1

1 0 1

1 1 0

1 1 1 всего три решения

вывод: каждое из семи уравнений даёт при xn=0 два решения и при хn=1 три решения n=1,2,...,7) РЕШЕНИЯ КАЖДОГО из семи последних УРАВНЕНИЯ НЕЗАВИСИМЫ ДРУГ ОТ ДРУГА, зависят только от решений первого уравнения

------------------------------------------------------------

смотрим на решения первого уравнения:

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7

0 0 0 0 0 0 0 - всего решений: 2^7 =138

0 0 0 0 0 0 1 - 2^6 * 3^1 =192

0 0 0 0 0 1 1 - 2^5 * 3^2=288

0 0 0 0 1 1 1 2^4 * 3^3=432

0 0 0 1 1 1 1 2^3 * 3^4=648

0 0 1 1 1 1 1 2^2 * 3^5=972

0 1 1 1 1 1 1 2^1 * 3^6 =1458

1 1 1 1 1 1 1 3^7=2187

----------------------------------------------------------------

128+192+288+432+648+972+1458+2187=6305 <----ответ