Нужно написать код на языке Delphi

Если вариантов не будет, то можно использовать Pascal

Известно, что если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и на его концах принимает значения разных знаков, на этом отрезке найдется такая точка , в которой значение функции равно нулю (теорема Коши).

Следовательно, наша задача - всего лишь проверить знаки значений заданной функции в точках a и b.

Увы, но Delphi у меня нет (как и всех почти, наверно), поэтому вот...

PascalABC.NET 3.4.2, сборка 1881 от 19.11.2018Внимание! Если программа не работает, обновите версию!

begin

 var (p, a, b) := ReadReal3('Введите p, a, b:');

 var fx: real-> real := x -> ArcTan(2 ** x - Abs(p)) - Sqrt(2);

 (fx(a) * fx(b) <= 0).Println

end.

ПримерВведите p, a, b: 2.35 1 3.2True

В данном случае нам повезло: корень у функции единственный. А вот если их на заданном отрезке попадатеся четное число, такое решение не годится. Более того, не существует универсального аналитического метода, который позволил бы для совершенно любой функции определить, единственный ли корень на заданном интервале и есть ли он там вообще.