Упростите логические выражения с развернутым ответом и решением

Пример 1.

Пусть нам необходимо упростить логическое выражение:

(А &. В) + (A & ¬В).

1.Воспользуемся правилом дистрибутивности и вынесем за скобки А:

(А & В) + (А & ¬В) = А & (В + ¬В).

2.По закону исключенного третьего В + ¬В = 1, следовательно:

А & (В + ¬B) = А & 1 = А.

Пример 2.

Пусть нам необходимо упростить логическое выражение:

¬(A +¬B)+¬(A+ B)+ A & B

1. сначала раскрываем инверсию сложных выражений, используя законы де Моргана:

¬(A +¬B)+¬(A+ B)+ A & B=¬A&B + ¬A&¬B + A& B

2. выносим за скобки в первых двух слагаемых и используем закон исключения третьего

В + ¬В = 1:

¬A&B + ¬A&¬B + A& B=¬A&(B+¬B)+A&B=¬A+A&B

3. наконец, применяем распределительный закон для операции «И» и еще раз закон исключения третьего A+ ¬A = 1, следовательно:

¬A+A&B=(¬A+A)&(¬A+B)=¬A+B

Пример 3.

Пусть нам необходимо упростить логическое выражение:

(А + В) & (А + С).

1)Раскроем скобки: (А + В) & (А + С) = A & A + A & C + B & A + B & C;

2)Так как A & A =A, следовательно,

A & A + A & C + B & A + B & C = A + A & C + B & A + B & C;

3)В высказываниях А и А & C вынесем за скобки А и используя свойство А + 1= 1, получим

A + A & C + B & A + B & C = A & (1 + C) + B & A + B & C = A + B & A + B & C;

4) Аналогично предыдущему пункту вынесем за скобки высказывание А.

A + B & A + B & C = A & (1 + B) + B & C = A + B & C.