ИИ: 1) Фотограф старше Чынгыза. Обозначим возраст фотографа как Ф, а Чынгыза как Ч. 
2) Азим старше Ильгиза. Обозначим возраст Азима как А, а Ильгиза как И. 
3) Шахматист старше Азима. Обозначим возраст шахматиста как Ш.  
Из этих условий можно составить следующую таблицу:  
| Браты | Возраст | Кружок | 
|-------|---------|--------| 
| А     |         |        | 
| К     |         |        | 
| И     |         |        | 
| Ч     |         |        |  
Теперь посмотрим на оставшееся условие:  
- В воскресенье Азим с фотографом играли в теннис, а Чынгыз в то же время проиграл вокалисту в городки.  
Так как в одно и то же время никто из братьев не может заниматься двумя разными кружками, то Азим и фотограф не могут одновременно быть в шахматном кружке. Значит, шахматист - это не Азим.  
| Браты | Возраст | Кружок | 
|-------|---------|--------| 
| А     |         | Ш      | 
| К     |         |        | 
| И     |         |        | 
| Ч     |         |        |  
Также, по условию, фотограф старше Чынгыза, значит возраст фотографа должен быть больше возраста Чынгыза.  
| Браты | Возраст | Кружок | 
|-------|---------|--------| 
| А     |         | Ш      | 
| К     |         |        | 
| И     |         |        | 
| Ч     |         | Ф      |  
Теперь рассмотрим условие "Азим старше Ильгиза". Азим также не может быть в фотокружке, так как фотограф старше его. Значит, Азим и Ильгиз не могут быть в фотокружке.  
| Браты | Возраст | Кружок | 
|-------|---------|--------| 
| А     |         | Ш      | 
| К     |         |        | 
| И     |         |        | 
| Ч     |         | Ф      |  
Теперь осталось два варианта: Азим в химическом кружке, а Ильгиз в вокальном или наоборот. Определимся соответственно по условию "в воскресенье Азим с фотографом играли в теннис, а Чынгыз в то же время проиграл вокалисту в городки". Теннис можно играть только на улице, а городки - в помещении. Значит, Азим с фотографом играли на улице, следовательно, Азим занимается в химическом кружке, а Ильгиз - в вокальном.  
| Браты | Возраст | Кружок | 
|-------|---------|--------| 
| А     |         | Х      | 
| К     |         |        | 
| И     |         | В      | 
| Ч     |         | Ф      |  
Остался последний брат - Касым. Исходя из последнего условия "шахматист старше Азима", Касым не может быть шахматистом, так как возраст Азима должен быть меньше возраста шахматиста. Значит, Касым занимается вокалом.  
| Браты | Возраст | Кружок | 
|-------|---------|--------| 
| А     |         | Х      | 
| К     |         | В      | 
| И     |         | В      | 
| Ч     |         | Ф      |  
Таким образом, получаем следующие результаты:  
- Азим занимается химическим кружком. 
- Касым занимается вокальным кружком. 
- Ильгиз занимается шахматным кружком. 
- Чынгыз занимается фотокружком.