почему посещение театра в Афинах было доступно даже бедным гражданам?

Потому что правительство Греции выдавало беднякам деньги на театр.

Византийский учёный Свида сообщает, что в 70-ю олимпиаду (т. е. в 499—496 до и. э. ) временные сидения обрушились и что после этого афиняне соорудили театрон, т. е. особые места для зрителей. В первом ряду сидели почетные гости: жрецы Диониса, стратеги, победители Олимпийских игр. Остальные места были платными: на «билете» из свинца или обожженной глины буквой указывалась секция, где разрешалось занять любое место. Чтобы сделать посещение театра доступным даже беднейшим гражданам, государство в Афинах выдавало деньги для покупки входных билетов.