Почему Лжедмитрий I смог занять царский престол?

Потому что у него была поддержка. Лжедмитрий - Григорий Отрепьев, смог убедить некоторое количество народа в том, что он - истинный наследник, а, если быть точнее, Дмитрий Иванович - умерший сын Ивана 4 (Грозного), который не умер, порезав себя ножиком, а сумел чудом выжить.