Почему Пётр 1 приговорил своего сына к казне?

Потому что он был предателем, он предал Петра 1

гласит, что Алексей, выросший во враждебной, Петру и всем его начинаниям атмосфере, попал под пагубное влияние реакционного духовенства и отсталой московской знати. А когда отец хватился, было уже поздно, и все усилия перевоспитать сына привели лишь к тому, что тот убежал за границу. На следствии, начатом по его возвращении, выяснилось, что вместе с немногими приспешниками Алексей с нетерпением ожидал смерти царя и готов был уничтожить все сделанное им. Суд сенаторов и высших сановников вынес виновному в измене смертный приговор, ставший своеобразным памятником принципиальности Петра I.