Что заставляло Россию так упорно стремиться к овладению Северным Кавказом?

Прежде всего, Кавказ был ключом ко всей Азии и в то же время естественной защитой от этого региона. Ислам, проникший на Северный Кавказ, делал этот регион потенциально возможным ко включению в состав Османской империи, которая стремилась занять всё Черноморское побережье. 

Россия не могла допустить этого, иначе создавалась реальная угроза с юга для владений на Дону и Волге, по которым активно осуществлялась торговля. Был бы затруднён выход России  к Чёрному морю, что грозило полной изоляцией.