Когда, с какого времени, под управлением КАКОГО князя Москва стала центром Русского государства?

Религиозным центром русского государства Москва стала при Иване I Калите (правил в 1325-1340), это связано с переездом митрополита из города Владимира, где он находился с 1299 года. 

При этом же князе она стала центром объединения, так как Иван Калита получил ярлык на великое княжение и смог победить главного конкурента в деле борьба за ярлык - Тверское княжество. При нем Московское княжество стало заметно богаче, это выразилось и в каменном строительстве и в покупке селений.

Однако, до 1480 Московское княжество оставалось де-юре вассалом Золотой Орды, поэтому ответ про Ивана III тоже отчасти можно считать правильным.