с какой целью Антоний и Октавиан заключили между собой союз?

Они заключили союз чтоб разбить заговорщиков которые убили Цезаря среди них был Брут. 

У них обоих были общие враги , вот они и соединились для борьбы .  Враги были заговорщики, убившие Гая Юлия Цезаря.