в театре 100 мест, было продано билетов на 1000 рублей, при этом билет для мужчин стоил 50 рублей, для женщин 20 рублей, для детей 1 рубль. Сколько мужчин, женщин и детей было в театре

Ответ:

11 М, 19 Ж, 70 Д

Пошаговое объяснение:

Пусть детей было x, женщин y, а мужчин z.

Тогда всего людей 100 человек:

x + y + z = 100

И заплатили они все вместе 1000 рублей:

x + 20y + 50z = 1000

Вычтем из 2 уравнения 1 уравнение

19y + 49z = 900

y = (900 - 49z)/19 = 47 + (7 - 49z)/19 = 47 - (49z - 7)/19 = 47 - 2z - (11z- 7)/19

Целая часть 47 - 2z означает, что y <= 45.

Дробная часть (11z - 7)/19 должна быть целым числом.

Нетрудно подобрать, что при z = 11 будет y = 47 - 22 - (121-7)/19 = 19

Тогда x = 100 - y - z = 100 - 19 - 11 = 70.

Проверим стоимость билетов:

x + 20y + 50z = 70 + 20*19 + 50*11 = 70 + 380 + 550 = 1000

Следующее целое значение z=30 даёт y=47-60-(330-7)/19=-30 < 0

Ответ: В театре было 11 мужчин, 19 женщин и 70 детей

Пошаговое объяснение:

Пусть мужчин в театре было x, женщин y, а детей z.

Составим уравнения вытекающие из условий задачи:

x + y + z = 100                                (1)

50x + 20y + z = 1000                    (2)

Из условия x, y, z ≥ 0 из (2) вытекают следующие ограничения: x ≤ 20, y ≤ 50, z ≤ 1000

Вычтем из (2) - (1), получим:

49x + 19y = 900

Можно конечно в лоб решить это уравнение, расписав его как целочисленное, но немного сэкономим:

19x + 19y = 900 - 30x

19(x + y) = 30(30 - x)                       (3)

Т.к. НОД(19, 30) = 1, то

(30 - x) кратно 19 и при условии, что 0 ≤ x ≤ 20 подходит только x = 11

Подставим x = 11 в (3) и получим:

x + y = 30 ⇒ y = 19

Подставим найденные x и y в (1) и получим:

11 + 19 + z = 100 ⇒ z = 70

Проверка:

11 + 19 + 70 = 100

11 * 50 + 19 * 20 + 70 * 1 = 550 + 380 + 70 = 1000