Докажите, что прямая, проходящая через центр правильного шестиугольника, делит его на части, с равными площадями

Центр правильного многоугольника - точка пересечения его диагоналей. Правильный 6-угольник делится его диагоналями на 6 равных правильных треугольников с равными площадями.

Пусть 6-угольник А1А2А3А4А5А6 с цетром О.

Он состоит из 6 треугольников А1А2О, А2А3О, А3А4О, А4А5О, А5А6О, А6А1О.

Если прямая проходит через одну из диагоналей, то в каждой части остается по 3 равных треугольника, очевидно, что их площадь равна.

Если прямая не совпадает с диагональю, а проходит через треугольники А1А2О и А4А5О.

В одной части фигуры остались 2 целых треугольника А2А3О и А3А4О, в другой А5А6О и А5А6О. Эти части равны.

Треугольники А1А2О и А4А5О разрезаны на 2 части. Точка пересечения прямой с со стороной треугольника А1А2 - В, со стороной треугольника А4А5 - С.

Докажем равенство получившихся треугольников А1ВО и А4СО. Они равны по стороне - А1О=А4О и 2 углам - углы ОА1В и ОА4С равны т. к. это углы равносторонних треугольников. Углы А1ОВ и А4ОС равны как вертикальные. Аналогично для треугольников ВА2О и СА5О.

Т. Е. обе части 6-угольника целиком равны.