Дана окружность с центром в точке o и точка а , лежащая вне этой окружности. Из точки a проведены две прямые, касающиеся данной окружности в точках m и n найдите радиус этой окружности если AO = 50 MN = 48 и известно что AM<OM

Пусть R - радиус.Касательная к окружности перпендикулярна радиусу. Следовательно, соединив точки А, М, О и А, О, N получим два равных прямоугольных треугольника АМО и АNО, поскольку ОМ=ОN=R, а сторона ОА - общая, а сами треугольники прямоугольные.В таком случае МN в точке пересечения (обозначим ее Р) с АО делится пополам.То есть МР= NР= 48/2=24К тому же отрезок АО перпендикулярен отрезку МN.Рассмотрим треугольник АМО.1) ОМ=R, АО =50, высота МР=24По теореме Пифагора АО² = ОМ² + АМ²Следовательно,50² = R² + АМ²,АМ² = 50² - R²2) Высота МР делит АО на два отрезка ОР и АРОР² = ОМ² - МР²,то есть ОР² = R² - 24²ИАР² = АМ² - МР²,или (АО - ОР)² = АМ² - МР²,то есть [50 - √(R² - 24²)]² = АМ² - 24²Отсюда АМ² = [50 - √(R² - 24²)] + 24²3) Поскольку левые части уравнений из 1) и 2) равны, то равны и правые части:50² - R² = [50 - √(R² - 24²)]² + 24²50² - R² = 50² - 2•50•√(R² - 24²) + R² - 24² + 24² -50² + R² + 50² - 2•50•√(R² - 24²) + R² - 24² + 24² = 02R² - 2•50•√(R² - 24²) = 0R² - 50•√(R² - 24²) = 0R² = 50•√(R² - 24²)R²/50 = √(R² - 24²)(R²/50)² = [√(R² - 24²)]²(R²)²/2500 = R² - 24²(R²)² = 2500R² - 2500•576(R²)² - 2500R² + 1440000 = 0Дискриминант = 2500•2500 - 4• 1440000 == 6250000 - 5760000 = 490000Первый корень уравнения:R² = (2500 + √490000)/2= = (2500+ 700)/2 = 3200/2 = 1600Следовательно, R=√1600 = 40Второй корень уравнения: R² = (2500 - √490000)/2 == (2500 - 700)/2 = 1800/2 = 900Следовательно, R=√900 = 304) Поскольку по условию АМ<ОМ, иначе говоря, АМ<Rи из 1) известно, чтоАО² = ОМ² + АМ², или50² = R² + АМ²,следовательно, АМ² = 50² - R² подберем верный корень:1. АМ² = 50² - R² = 2500-1600=900АМ = √900 = 302. АМ² = 50² - 30² = 2500-900=1600АМ = √1600= 40Для выполнения условия АМ<R подходит корень R=40, при котором АМ=30Ответ: R=40