. В шахматном фестивале участвовали англичане, немцы и французы. Каждый англичанин сыграл ровно с пятью немцами и двумя французами, каждый немец – с шестью англичанами и четырьмя французами, а каждый француз – с тремя англичанами и с одинаковым числом немцев. Найдите это число.

Тут идея в том, что число матчей, сыгранных любыми двумя командами одинаково, то есть англичане сыграли с французами столько же матчей, сколько французы с англичанами, равно как и две другие пары. Обозначим число немцев за Н, число англичан за А, число французов за Ф. Тогда англичане сыграли с немцами 5А матчей, немцы с англичанами 6Н матчей, значит 5А=6Н. Аналогично 2А=3Ф, 4Н=ХФ, где Х - число немцев с которыми играли французы. Кроме того, надо учесть, что все четыре числа принадлежат множеству натуральных чисел (1, 2, 3 и т.д.). Поскольку у нас имеется 4 линейных уравнения с 3 неизвестными, получаем множество решений, определяемое равенствами А=(6/4)Ф, Н=(5/4)Ф. Учитывая, что все числа целые получаем, что Ф=4У, А=6У, Н=5У, где У - натуральное число. Если же найти нужно, со сколькими немцами сыграл каждый француз, то она имеет единственное решение Х=5.