В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 40, а площадь равна 80, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания

Проведем высоты трапеции ЕР и ВН.ЕР=ОЕ+ОР=ВН.Так как в трапецию можно вписать окружность, то выполняется равенство:АВ+СD=AD+BC Периметр равен:P=AB+CD+AD+BC=40, значит2АВ=20, АВ=10 (трапеция равнобедренная)AD+BC=20S=(AD+BC)/2*ЕР, отсюдаЕР=2S/(AD+BC)= 2*80/20=8  => ВН=8.Высота ВН делит основание ВD на два отрезкаАН=(AD-BC)/2 и HD=(AD+BC)/2 (свойство равнобедренной трапеции). 2АН=AD-BC. Из теоремы Пифагора АН=√(АВ²-ВН²)=√(10²-8²)=6. Итак, AD+BC=20AD-BC=12, значитAD=16, ВС=4. Треугольики ВОС и АОD подобны по двум углам (даже по трем!),так как <CAD=<ACB и <BDA=<DBC - внутренние накрест лежащие углы при параллельных ВС и AD и секущих АС и ВD соответственно.Коэффициент подобия этих треугольников равен k=ВС/AD=1/4.Тогда ОЕ/ОР=1/4 (высоты подобных треугольников).ОР=4*ОЕ. ОЕ+ОР=8. 5*ОЕ=8.ОЕ=8/5=1,6.Ответ: искомое расстояние равно 1,6.