найти координаты центра и радиус круга 4x^2+4y^2-4x+20y-23=0

найти координаты центра и радиус круга 4x^2+4y^2-4x+20y-23=0
- Предмет:
  Математика
- Автор:
  emiliapaul
- 6 лет назад

Ответы 1

$\displaystyle 4x^2+4y^2-4x+20y-23=0.$ Решим для $\displaystyle x$ : $\displaystyle 4x^2-4x+(4y^2+20y-23)=0;$ $\displaystyle x=\frac{4\pm\sqrt{16-16(4y^2+20y-23)}}{8}=\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{16-64y^2-320y+368}}{\sqrt{8^2}}=$ $\displaystyle =\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{384-64y^2-320y}{64}}=\frac{1}{2}\pm\sqrt{-y^2-5y+6}.$ Найдём $\displaystyle x$ при $\displaystyle y=0:$ $\displaystyle x=\frac{1}{2}\pm\sqrt{6}.$ Абсцисса центра находится посередине между найденными: $\displaystyle O_x=\frac{\frac{1}{2}-\sqrt{6}+\frac{1}{2}+\sqrt{6}}{2}=\frac{1}{2}.$ Решим для $\displaystyle y$ : $\displaystyle 4y^2+20y+(4x^2-4x-23)=0;$ $\displaystyle y=\frac{-20\pm\sqrt{400-16(4x^2-4x-23)}}{8}=-\frac{5}{2}\pm\frac{\sqrt{400-64x^2+64x+368}}{\sqrt{8^2}}=$ $\displaystyle =\pm\sqrt{\frac{768-64x^2+64x}{64}}-\frac{5}{2}=\pm\sqrt{-x^2+x+12}-\frac{5}{2}.$ Найдём $\displaystyle y$ при $\displaystyle x=0:$ $\displaystyle y=\pm\sqrt{12}-\frac{5}{2}.$ Ордината центра находится посередине между найденными: $\displaystyle O_y=\frac{\sqrt{12}-\frac{5}{2}-\sqrt{12}-\frac{5}{2}}{2}=-\frac{5}{2}.$ Центр окружности находится в точке $\displaystyle O=\Big(O_x;O_y\Big)=\boxed{{\Big(\dfrac{1}{2};-\dfrac{5}{2}\Big)}}\phantom{.}.$ Найдём ординаты точек на окружности с абсциссой её центра: $\displaystyle y=\pm\sqrt{-O_x^{\phantom{x}2}+O_x+12}-\frac{5}{2}=\pm\sqrt{-\Big(\frac{1}{2}\Big)^2+\frac{1}{2}+12}-\frac{5}{2}=\pm\sqrt{\frac{1}{4}+12\cdot\frac{4}{4}}-\frac{5}{2}=$ $\displaystyle =\pm\sqrt{\frac{1+48}{4}}-\frac{5}{2}=\pm\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{4}}-\frac{5}{2}=\frac{\pm 7-5}{2}.$ Половина расстояния между найденными ординатами есть радиус: $\displaystyle r=\frac{\left|\frac{7-5}{2}-\frac{-7-5}{2}ight|}{2}=\frac{\left|\frac{7}{2}+\frac{7}{2}ight|}{2}=\frac{\left|7ight|}{2}=\boxed{\frac{7}{2}}\phantom{.}.$
- Автор:
  michaela75r9
- 6 лет назад
- 0
Добавить свой ответ