Помогите решить определенный интеграл [tex] \int\limits^ \pi _0 {(1-8 x^{2} )cos4x} \, dx

Помогите решить определенный интеграл
[tex] \int\limits^ \pi _0 {(1-8 x^{2} )cos4x} \, dx
[/tex]
вместо пи,там 2пи
- Предмет:
  Математика
- Автор:
  chazcowa
- 5 лет назад

Ответы 5

в ответе получается -2пи?
- Автор:
  ariellabray
- 5 лет назад
- 0
ну как видишь
- Автор:
  marielacherry
- 5 лет назад
- 0
спасибо большое
- Автор:
  pooch
- 5 лет назад
- 0
на здоровье)
- Автор:
  eileen
- 5 лет назад
- 0
Вычисляем бесконечный интеграл: $\int \left(1-8x^2ight)\cos \left(4xight)dx$ Интегрируем по частям: $u=\left(1-8x^2ight),\:\:u'=-16x,\:\:v'=\cos \left(4xight),\:\:v=\frac{\sin \left(4xight)}{4}$ Получаем интеграл: $=\left(1-8x^2ight)\frac{\sin \left(4xight)}{4}-\int \left(-16xight)\frac{\sin \left(4xight)}{4}dx$ $=\frac{\left(1-8x^2ight)\sin \left(4xight)}{4}-\int \:-4x\sin \left(4xight)dx$ Рассмотрим интеграл: $\int \:-4x\sin \left(4xight)dx=-4\int \:x\sin \left(4xight)dx$ Применим интегрирования по частям: $u=x,\:\:u'=1,\:\:v'=\sin \left(4xight),\:\:v=-\frac{\cos \left(4xight)}{4}$ Получаем: $=-4\left(x\left(-\frac{\cos \left(4xight)}{4}ight)-\int \:1\left(-\frac{\cos \left(4xight)}{4}ight)dxight)$ $=-4\left(-\frac{x\cos \left(4xight)}{4}-\int \:-\frac{\cos \left(4xight)}{4}dxight)$ $=-4\left(-\frac{x\cos \left(4xight)}{4}-\left(-\frac{1}{4}\int \cos \left(4xight)dxight)ight)$ Делаем замену: $u=4x:\quad \quad du=4dx,\:\quad \:dx=\frac{1}{4}du$ Получаем: $=-4\left(-\frac{x\cos \left(4xight)}{4}-\left(-\frac{1}{4}\int \cos \left(uight)\frac{1}{4}duight)ight)$ $=-4\left(-\frac{x\cos \left(4xight)}{4}-\left(-\frac{1}{4}\frac{1}{4}\int \cos \left(uight)duight)ight)$ $=-4\left(-\frac{x\cos \left(4xight)}{4}-\left(-\frac{1}{4}\frac{1}{4}\sin \left(uight)ight)ight)$ Делаем обратную замену: $\:u=4x$ Получаем: $=-4\left(-\frac{x\cos \left(4xight)}{4}-\left(-\frac{1}{4}\frac{1}{4}\sin \left(4xight)ight)ight)=4\left(\frac{\sin \left(4xight)}{16}-\frac{x\cos \left(4xight)}{4}ight)$ Получаем общее решение интеграла: $=\frac{\left(1-8x^2ight)\sin \left(4xight)}{4}-\left(-4\left(\frac{\sin \left(4xight)}{16}-\frac{x\cos \left(4xight)}{4}ight)ight)$ $=\frac{\left(1-8x^2ight)\sin \left(4xight)}{4}+4\left(\frac{\sin \left(4xight)}{16}-\frac{x\cos \left(4xight)}{4}ight)$ Теперь подставляем границы интегрирования в полученный интеграл: $\int _0^{2\pi }\left(1-8x^2ight)\cos \left(4xight)dx=-2\pi -0=-2\pi$
- Автор:
  carroll
- 5 лет назад
- 0
Добавить свой ответ