в правильной четырехугольной пирамиде высота составляет h, а боковое ребро - b. Найдите радиус оисанной сферы

Правильная 4-угольная пирамида имеет в основании квадрат.Высота пирамиды h, половина диагонали d/2 основания и боковое ребро b образуют прям-ный тр-ник, в котором боковое ребро - это гипотенуза.(d/2)^2 = b^2 - h^2d = 2√(b^2 - h^2)Теперь проведем сечение пирамиды через диагональ перпендикулярно к основанию. Получим равнобедренный тр-ник и описанную окружность.Смотри рисунок.У равнобедренного треугольника основание d и боковые стороны b.Радиус описанной окружности можно найти из теоремы косинусов.{ b^2 = R^2 + R^2 - 2*R*R*cos BOC = R^2*(2 - 2cos BOC){ d^2 = R^2 + R^2 - 2*R*R*cos AOB = R^2*(2 - 2cos AOB)При этом углы AOC = BOC, AOB = 360 - 2*BOC{ R^2 = b^2/(2 - 2cos BOC){ R^2 = d^2/(2 - 2cos AOB) = 4(b^2 - h^2)/(2 - 2cos(360 - 2*BOC))Приравниваем правые частиb^2/(2 - 2cos BOC) = 2(b^2 - h^2)/(1 - cos (2*BOC))cos (2*BOC)  = 2cos^2 BOC - 1; 1 - cos (2*BOC) = 2 - 2cos^2 BOCЗдесь неизвестное - cos BOC, заменим его на xПолучаем из пропорцииb^2*(2 - 2x^2) = 2(b^2 - h^2)*(2 - 2x)b^2*(1 - x^2) = 2(b^2 - h^2)*(1 - x)b^2 - b^2*x^2 = 2b^2 - 2h^2 - 2(b^2 - h^2)*xПолучили квадратное уравнениеb^2*x^2 - 2(b^2 - h^2)*x + (b^2 - 2h^2) = 0D/4 = (b^2 - h^2)^2 - b^2*(b^2 - 2h^2) = = b^4 - 2b^2*h^2 + h^4 - b^4 + 2b^2*h^2 = h^4x1 = (b^2 - h^2 - h^2)/b^2 = (b^2 - 2h^2)/b^2 = 1 - 2h^2/b^2Это реальный кореньx2 = (b^2 - h^2 + h^2)/b^2 = b^2/b^2 = 1Если x = cos BOC = 1, то BOC = 0, что невозможно.Теперь подставляем найденный косинус в формулу радиусаR^2 = b^2/(2 - 2cos BOC) = b^2/(2 - 2*(1 - 2h^2/b^2)) == b^2/(2 - 2 + 4h^2/b^2) = b^2/(4h^2/b^2) = b^4/(4h^2)R = b^2/(2h)Вот такая простая формула получилась из таких сложных уравнений.