Последовательность Tn определена следующим образом: T1=2, Tn=2 Tn-1 (это индекс, в верхнем правом углу пишется) при n>=2. Найти остаток от деления числа T1+T2+...+T255 на 255.

Ответы 1

Дано $T_1 = 2; T_n = 2*T_{n-1}$ Или, что то же самое $T_m=2^m$ Докажем утверждение: $\sum_{k=1}^n T_k = T_{n+1} - 2$ Для n = 1 утверждение истинно и выглядит как 2=4-2.Пусть это утверждение верно для некоего p, $\sum_{k=1}^p T_k = T_{p+1} - 2$ тогда $\sum_{k=1}^{p+1} T_k = \sum_{k=1}^{p} T_k + T_{p+1}=(T_{p+1} - 2) + T_{p+1}=\\=2*T_{p+1}-2 = T_{p+2} - 2$ Таким образом наше первоначальное утверждение верно для любого натурального n.Следовательно $T_1 + T_2+...+T_{255}=\sum_{k=1}^{255}T_k=T_{256}-2=2^{256}-2$ Теперь найдем остаток $\frac{2^{256}-2}{255}=\frac{2^{256}-1}{2^8-1}-\frac{1}{2^8-1}=\\=(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)(2^{64}+1)(2^{128}+1)-\frac{1}{2^8-1}$ Таким образом добавление единицы к исследуемой сумме сделает ее делящейся на 255 нацело, т.е. остаток от деления суммы на 255 будет равен 254.Ответ: 254
- Автор:
  berger
- 6 лет назад
- 0
Добавить свой ответ