(Григорий Гальперин) а) На большом клетчатом листе бумаги нарисовали «по клеточкам» квадрат 100 x 100 клеток. Сколько клеток к нему примыкает снаружи (соприкасается с ним хотя бы по вершине)?
б) Сказочный замок имеет форму большого куба, склеенного из одинаковых маленьких кубиков. Внутри замка часть кубиков убрали, и получилась пустая комната размерами 10 x 10 x 10 кубиков. Сколько кубиков примыкает снаружи к этой комнате (соприкасается с ней хотя бы по вершине)?
32. На входе в школу появилось объявление: «Директор школы категорически возражает против отмены решения о запрете контроля за причёсками». Может ли теперь Вася покрасить волосы в красный цвет без риска получить наказание от директора и почему?
33.(Павел Кожевников) Нарисуйте фигуру с девятью сторонами, которую можно разрезать на три треугольника (и покажите, как сделать такое разрезание).
34.(Павел Кожевников) Барон Мюнхгаузен приехал к Квантику и Ноутику в гости и рассказал:
– Однажды я встретил 15 детей и заметил, что у любых трёх из них вместе ровно 10 монет. Ответьте-ка, сколько монет у всех этих детей вместе?
– Это легко, – сказал Ноутик, – детей можно разделить на пять троек, а значит, всего монет 50.
– А я думаю, барон что-то путает, – сказал Квантик.
Кто прав – Квантик или Ноутик?
35. В наборе из 100 гирек любые две гирьки отличаются по массе не более чем на 20 г. Имеются чашечные весы, показывающие разность весов на чашах. Придумайте алгоритм, как разложить гирьки на две кучи, чтобы в каждой куче было по 50 гирек и чтобы масса первой кучи отличалась от массы второй кучи тоже не больше чем на 20 г (и докажите, что ваш алгоритм верный).

33.Большой треугольник и на нём с двух сторон по два маленьких. Как крыша с двумя (треугольными) трубами.

Алиса, спасибо!

а) С каждой стороны квадрата примыкает по 100 клеток, и еще 4 угла.Всего 4*100 + 4 = 404 клетки.б) С кубом сложнее. К каждой грани примыкает 10*10 = 100 кубиков.Кроме того, к каждому ребру примыкает еще по 10 кубиков.И, наконец, к каждой вершине примыкает по 1 кубику.Всего получается 6*100 + 12*10 + 8*1 = 728 кубиков.32. Это очень знаменитая задача была несколько лет назад! Ее надо решать от конца к началу.Был контроль за прическами. Его запретили. Потом отменили решение о запрете, то есть вернули контроль.Директор возражает против этой отмены. То есть он за снятие контроля.Значит, Вася МОЖЕТ покрасить волосы.33. Это сложно, не люблю геометрию.34. Похоже, что Квантик прав, а барон путает.Рассмотрим 3 детей. Допустим, у них 10 монет. Пусть у третьего 1 монета.Теперь возьмем 4-го ребенка вместо 3-го, у которого 1 монета.Вместе с двумя первыми у 1, 2 и 4 должно быть тоже 10 монет.Значит, у 4-го тоже 1 монета.Теперь возьмем 5-го вместо 4-го. Рассуждаем аналогично, у него тоже 1.Значит, у 3-го, 4-го и 5-го детей вместе всего 3 монеты, а не 10.Точно также, если у 3-го, 4-го и 5-го будет по 2 монеты, то всего 6.Если по 3, то всего 9. А если по 4, то всего 12. 10 монет не получается никак.А все из-за фразы "У ЛЮБЫХ трех детей было по 10 монет".35. Я думаю, надо действовать так.Берем 2 гири, сравниваем. Тяжелую налево, легкую направо.Допустим, разница составила 15 г.Берем еще 2 гири. Теперь тяжелую направо, легкую налево.И так повторяем, в уме складывая разницы, пока не будет около 15 г.А если попалось 2 гири равного веса, то просто их кладем.При этом разница в весе компенсируется.И так далее. В итоге у нас получится 2 кучи по 50 монет, аразница в весе будет не больше, чем между 2 монетами, то есть 20 г.