В равнобедренном треугольнике ABC с вершиной B проведена медиана AM к боковой стороне. Найдите квадрат радиуса окружности, описанной около треугольника ABC, если радиусы окружностей, описанных около треугольников ABM и AMC, равны соответственно 36 и 9.

Можно рисунок?

Пусть O₁ и O₂ - центры окружностей, описанных вокруг AMС и ABM, а r₁=9 и r₂=36 - их радиусы. ∠AO₂O₁=∠ABC как половины центрального угла AO₂M и, аналогично, ∠AO₁O₂=∠ACM как половины центрального угла AO₁M. Значит, треугольники AO₂O₁ и ABC подобны по двум углам. Обозначим через m' и m их соответственные медианы из А. Тогда их коэффициент подобия k=m/m'. Т.к. половина медианы AM является высотой треугольника AO₁O₂, то по теореме синусов его радиус описанной окружности R'=r₂/(2sinA)=r₂/(2*(m/2)/r₁)=r₁r₂/m. Значит, радиус окружности, описанной около ABC равен R=R'k=(r₁r₂/m)*(m/m')=r₁r₂/m'. Достраивая AO₁O₂ до параллелограмма, и пользуясь тем, что в нем сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон, получим 2r₁²+2r₂²=4m'²+r₂², откуда m'=0,5√(2r₁²+r₂²), т.е. R=2r₁r₂/√(2r₁²+r₂²)=9*2*4/√(2+16)=12√2. Таким образом, R²=288.