Помогите с несобственным интегралом!!! Вычислить несобственный интеграл или доказать

Ответы 1

Чуть накосячили с LaTeXом. $\int\limits^5_3 { \frac{x}{ \sqrt[4]{ x^2-9}} } \, dx$ Найдем соответствующий неопределенный интеграл: $J(x) = \int\frac{x}{ \sqrt[4]{ x^2-9}} } \, dx$ Сделаем замену $x = 3cht$ , тогда $\sqrt[4]{x^2-9} = \sqrt[4]{9ch^2t-9} = \sqrt[4]{9sh^2t} = \sqrt{3sht} \\ dx = 3sht$ .Подставим в интеграл: $J(x) = \int\frac{x}{ \sqrt[4]{ x^2-9}} } \, dx = \int{ \frac{9shtcht}{ \sqrt{3sht}} } \, dt = 3\sqrt{3}\int{cht\sqrt{sht}} \, dt = 3\sqrt{3}\int{\sqrt{sht}} \,d(sht) =$ $3 \sqrt{3} \frac{sh^ \frac{3}{2} t}{ \frac{3}{2} } = 2\sqrt{3}(ch^2t-1)^\frac{3}{4}+C$ .Делаем обратную замену: $J(x) = 2\sqrt{3}( \frac{x^2}{9} -1)^\frac{3}{4}+C = \frac{2\sqrt{3}( x^2 -9)^\frac{3}{4}}{9^\frac{3}{4}} + C= \frac{2\sqrt{3}( x^2 -9)^\frac{3}{4}}{3\sqrt{3}} + C =$ $\frac{2}{3} (x^2-9)^ \frac{3}{4} + C$ .Возьмем значение произвольной постоянной $C = 0$ .Наконец, воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int\limits^5_3 { \frac{x}{ \sqrt[4]{ x^2-9}} } \, dx = J(5) - J(3) = \frac{2}{3} * 16^ \frac{3}{4} = \frac{16}{3}$ .
- Автор:
  dieselruig
- 6 лет назад
- 0
Добавить свой ответ