Найти общее решение диффура методом вариации производных(методом

Найти общее решение диффура методом вариации производных(методом Лагранжа)
y''+y=-ctg²(x)
- Предмет:
  Математика
- Автор:
  skunk
- 6 лет назад

Ответы 1

Данное уравнение - линейное неоднородное. Соответствующее однородное уравнение имеет вид $y'' + y = 0$ .Характеристическое уравнение имеет вид $k^2 + 1 = 0$ .Оно имеет комплексные сопряженные корни $k_1_,_2 = \pm i$ , значит общее решение однородного уравнения имеет вид $\tilde{y} = C_1cosx + C_2sinx$ .Будем искать общее решение неоднородного уравнения в виде $y = C_1(x)cosx + C_2(x)sinx$ ,где $C_1(x),C_2(x)$ - некоторые пока неизвестные функции. Составим систему, из которой мы сможем найти эти неизвестные функции: $\left \{ {{C_1'(x)cosx + C_2'(x)sinx = 0} \atop {-C_1'(x)sin(x)+C_2'(x)cosx=-ctg^2(x)}} ight.$ Определитель данной системы равен: $W = \left\begin{vmatrix}cosx&sinx\\-sinx&cosx\end{vmatrix}ight = cos^2x + sin^2x = 1$ .Дополнительные определители равны: $\Delta_{C'_1(x)} = \left\begin{vmatrix}0&sinx\\-ctg^2x&cosx\end{vmatrix}ight = ctg^2x*sinx = \frac{cos^2x}{sinx} \\ \Delta_{C'_2(x)} = \left\begin{vmatrix}cosx&0\\-sinx&-ctg^2x\end{vmatrix}ight = -cosx*ctg^2x = -\frac{cos^3x}{sin^2x}$ .Решение системы таково: $\left \{ {{C'_1(x)= \frac{\Delta_{C'_1(x)}}{W} } \atop {C'_2(x)= \frac{\Delta_{C'_2(x)}}{W}}} ight. \\ \left \{ {{C'_1(x)= \frac{cos^2x}{sinx}} \atop {C'_2(x) = -\frac{cos^3x}{sin^2x}}} ight.$ .Это производные, а нам нужны сами функции. Значит ищем интегралы: $C_1(x) = \int{\frac{cos^2x}{sinx}} \, dx = \int{\frac{1-sin^2x}{sinx}} \, dx = \int{\frac{dx}{sinx}}-\int{sinx}} \, dx =$ $-\int{\frac{d(cosx)}{sin^2x}} \, dx + cosx =\int{\frac{d(cosx)}{cos^2x-1}} \, dx + cosx = \frac{1}{2} ln| \frac{cosx-1}{cosx+1} | + cosx + C_1$ . $C_2(x) = -\int{ \frac{cos^3x}{sin^2x}} \, dx = -\int{ \frac{cos^2xd(sinx)}{sin^2x}} = \int{ \frac{sin^2x-1}{sin^2x}}\,d(sinx) = \int{d(sinx)}$ $-\int{ \frac{d(sinx)}{sin^2x}} = sinx + \frac{1}{sinx} + C_2$ , где $C_1,C_2$ - произвольные константы.Осталось только записать решение в общем виде: $y = (\frac{1}{2} ln| \frac{cosx-1}{cosx+1} | + cosx + C_1)cosx + (sinx + \frac{1}{sinx} + C_2)sinx$ .При желании можно преобразовать полученный ответ.
- Автор:
  stephanyjy92
- 6 лет назад
- 0
Добавить свой ответ