Это уравнение является уравнением Бернулли.Очевидно, что функция

является решением уравнения. Разделим обе части на

, предполагая, что

:
 \frac{y'}{y^2} + \frac{1}{y} = arctgx)
.Сделаем замену

, тогда

и уравнение принимает вид
z' + z = arctgx)
.Получили линейное неоднородное уравнение. Решим его методом вариации постоянной. Для этого найдем решение соответствующего однородного уравнения:
z' + z = 0 \Leftrightarrow (1+x^2)z' - z = 0)
.Это уравнение с разделяющимися переменными.
 \frac{dz}{dx} - z = 0 \\ \frac{dz}{z} = \frac{dx}{1+x^2} \\ \int \frac{dz}{z} = \int \frac{dx}{1+x^2} \\ lnz = arctgx + C \\ z = Ce^{arctgx})
.Заменим постоянную C новой неизвестной функцией C(x) и в таком виде будем искать решение неоднородного уравнения:
e^{arctgx} \\ (1+x^2)(C(x)e^{arctgx})' + C(x)e^{arctgx} = -arctgx \\ (1+x^2)C'(x)e^{arctgx} + C(x)e^{arctgx} - C(x)e^{arctgx} = -arctgx \\ (1+x^2)C'(x)e^{arctgx} = -arctgx \\ C'(x)=-\frac{e^{-arctgx}arctgx}{1+x^2} \\ C(x) = -\int\frac{e^{-arctgx}arctgx}{1+x^2}dx)
.Сделаем замену в интеграле:
 =-\int\frac{e^{-arctgx}arctgx}{1+x^2}dx = -\int te^{-t}dt)
.Интеграл легко берется по частям (оставляю на вас):
 = (t+1)e^{-t} + C = (arctgx+1)e^{-arctgx} + C)
, где C - произвольная постоянная.Таким образом,
e^{arctgx} = ((arctgx+1)e^{-arctgx} + C)e^{arctgx} = Ce^{arctgx} )

.Вспоминаем, что

, тогда

- общее решение.Теперь воспользуемся начальным условием y(0) = 1:

.Значит, искомая функция есть

.