Пусть число x+1/x— целое. Для какого наименьшего количества целых чисел k из отрезка [−2014;2014] число x^k+1/x^k тоже является целым?

Исправление решения: если 1/х+х целое (к=1), то (1/х+х)² тоже целое, но(1/х+х)²=1/х²+2+х² => 1/х²+х² целое (к=2)аналогично (1/х+х)³ тоже целое, но(1/х+х)³=1/х³+3(1/х+х)+х³ => 1/х³+х³ целое (к=3)Пусть 1/х^n+х^n целое для всех n<=к. Составим произведение двух целых чисел:(1/х^к+х^к)·(1/х+х) =1/х^(к+1)+х^(к-1)+1/х^(к-1)+х^(к+1)так как по предположению х^(к-1)+1/х^(к-1) целое, то 1/х^(к+1)+х^(к+1) тоже целое.т.о. если 1/х^к+х^к целое для к=1, то оно целое для всех целых к.Легко видеть чт

 Если х=1, то для любого К получаем целое число, т.е. 2014*2+1 значений К явлются решениями.Если х≠1, запишем условие х+1/х=n (n-целое),тогда для любого х = (n+(n²-4)⁰⁵)/2 величина х+1/х целое число  (n).  Среди этого множества х найдутся такие, для которых х^k + 1/х^k  не является целым при любом к≠0. Однако при к=0 любое из этих значений- целое (х+1/х=2).  таким образом, наименьшее количество целых чисел k это 2 (к=0, k=1).