В правильной четырёхугольной пирамиде все рёбра равны 3√2. Найдите высоту пирамиды.

Сначала проведем высоту из вершины к ребру основания. Т.к. треугольник, в котором мы производим построение является равнобедренным, высота будет являться так же медианой и поделит ребро основания пополам. Получим прямоугольный треугольник с гипотенузой равной 3√2 и катетом равным 1,5√2. Теперь найдем второй катет. Для этого используем теорему Пифагора:

 (3√2)²=(1,5√2)²+х², отсюда получаем х²=√18²-√4,5²=18-4,5=13,5 ⇒ х=√13,5

Теперь строим высоту пирамиды из вершины к середине основания, обозначим её как у. Получаем опять же прямоугольный треугольник с гипотенузой √13,5, и катетом 1,5√2. Находим второй катет аналогично предыдущему треугольнику:

(√13,5)²=(1,5√2)²+у², отсюда получаем у²=13,5-4,5=9 ⇒ у=√9=3

Ответ: высота пирамиды равна 3