Найти общее решение y"-7y'=3x^2+4x+4

Данное уравнение - линейное неоднородное. Общее решение линейного неоднородного уравнения есть сумма общего решения соответствующего линейного однородного уравнения и частного решения исходного неоднородного.Соответствующее однородное уравнение имеет вид. Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид.Его корни .Общее решение однородного уравнения имеет вид, где C1, C2 - произвольные постоянные.Найдем частное решение неоднородного уравнения. Сделаем это методом подбора.Так как один из корней характеристического уравнения равен нулю, то "очевидный подбор"  следует умножить на x и в таком виде искать решение. То есть, ищем частное решение неоднородного уравнения в виде , где A, B, C - неизвестные числа.Дифференцируя, находим выражения для y' и y'':.Подставляем полученные выражения в уравнение:.Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, будем иметь:Решая эту систему, имеем:То есть, частное решение неоднородного уравнения есть.Значит общее решение неоднородного уравнения имеет вид.