Существуют ли рациональные числа, среднее арифметическое которых не является рациональным?

Нет, не существует. Так как среднее арифметическое это отношение суммы чисел к их количеству. Сумма рациональных чисел это рациональное число, а количество - натуральное число. Отношение рационального числа к натуральному всегда рационально.