В квадрате АВСD точка М на стороне АВ и точка N на диагонали АС расположены так, что АМ: МВ = 3: 4, АN: NC = 5: 2. Докажите, что угол DNM прямой.

См. рисунок. т.М делит сторону квадрата в отнош 3:4, соответственно на отрезки 3 и 4 единицы (неважно какие размерности). Сторона квадрата -7 единиц.т.N  делит диагональ в отношении 5:2 ( это уже не 5 и 2 единицы, это только отношение.)Проведем перпендикуляры (красные линии). Они делят стороны в отношении тоже 5:2, но теперь на 5 и 2 единиц. И рассмотрим получившиеся треугольники MNY, NDX,MADв треугольнике MNDа такое может быть только в прямоугольном треугольнике.