Был лист обоев в форме квадрата со стороной 1 м. Его разрезали на прямоугольные куски. Оказалось, что площади всех кусков различны и измеряются целым числом квадратных сантиметров. Какое наибольшее количество кусков могло получиться?

в одном метре квадратном 10000 сантиметров квадратных. количество окажится наибольшим в случае, если площади будут наименьшими. самая маленькая площадь равна 1 см2, площадей будет больше, если разница между ними будет минимальной из возможных(разница в данном случае равна 1см2)

т.к. площадь всех кусков равна 10000см2, то можно с помощью формулы суммы арифметической прогрессии найти их количество:

S=(2a1 + d(n-1))/2*n

10000= (2*1 + 1*(n-1))/2*n

20000=(2+n-1)n

20000=n+n^2

n^2+n-20000=0

n1=-141.92

n2=140.92

но их количество должно быть целым числом, значит оно равно 140

(из них 139 - первые 139 членов арифметической прогрессии: 1,2,3,4,5,...)

а площадь последнего прямоугольника будет больше чем 140-ой член данной прогрессии. 

В прогрессии ни один из членов не равен другому, поэтому все условия данной задачи были соблюдены. 

Ответ: 140 кусков