Существуют ли такие прямоугольные треугольники, длины сторон которых являются целыми числами, а периметр каждого из них численно равен площади?

Да, конечно есть: например, со сторонами 5,12,13. Если а и b катеты, то должно быть a+b+sqrt(a^2+b^2)=ab/2. Отсюда a=4+8/(b-4). Чтобы были целыми, 8 должно делиться на b-4. Значит b может быть 5,6,8,12 тогда а=12,8,6,5 соответственно.