В матрице размером (19,5) 2 элементa равны единице, а все остальные равны 0. Ненулевые элементы расположены так, что в каждой строке и каждом столбце не более одного ненулевого элемента. Чему равен ранг матрицы?

В матрице размером (19,5) 2 элементa равны единице, а все остальные равны 0. Ненулевые элементы расположены так, что в каждой строке и каждом столбце не более одного ненулевого элемента.
Чему равен ранг матрицы?
- Предмет:
  Математика
- Автор:
  hayley
- 6 лет назад

Ответы 1

Пусть $r_i$ строка $i$ данной матрицы, содержащая ненулевой элемент, и пусть $1=a_{i,k}$ .Нам дано: если $a_{i,k}=0$ , то 1) остальные элементы в строке $r_i$ равны нулю, 2) элементы в столбце $v_k$ равны нулю. $r_i$ не может содержать больше одного ненулевого элемента, следовательно есть ещё одна строка $r_j$ , содержащая второй ненулевой элемент.Пусть $a_{j,l}=1$ .Из (2) следует, что $keq l$ ( $a_{i,k}$ и $a_{j,l}$ не находятся в одном столбце).Предположение: $r_i$ и $r_j$ - линейно независимы (докажем это и получим ранг не меньше двух)Доказательство:Предположим, что зависимы. Тогда существует такой скаляр $\lambda$ , что $r_i=\lambda r_j$ , в частности: $\left \{ {{a_{i,k}=\lambda a_{j,k} \atop {a_{i,l}=\lambda a_{j,l}}} ight. \ \Rightarrow\ \left \{ {{1=\lambda \cdot0} \atop {0=\lambda\cdot1}} ight.$ Получили противоречие (нет такого скаляра, который выполнит систему), значит $r_i$ и $r_j$ - линейно независимы.Отсюда: $rank(A)\geq2$ Ненулевых элементов матрицы всего два, потому остальные строки матрицы содержат только нули. Отсюда $rank(A)\leq2$ .Итого: $rank(A)=2$ . Других вариантов для матрицы $A$ нет.
- Автор:
  gilbert30
- 6 лет назад
- 0
Добавить свой ответ