Последовательность задана рекуррентным соотношением: Xn+₁=√( 3Xn-2), X1=3/2. Найдите предел последовательности.

Последовательность задана рекуррентным соотношением: Xn+₁=√( 3Xn-2), X1=3/2. Найдите предел последовательности.
- Предмет:
  Математика
- Автор:
  guzmánqmce
- 6 лет назад

Ответы 1

Решение делим на две части:I. доказываем монотонный прирост и ограниченностьII. находим предел последовательностиЧасть I:монотонность доказываем по индукции:Проверка: $x_2=\sqrt{3\frac{3}{2}-2}=\sqrt{\frac{5}{2}}\ \textgreater \ \frac{3}{2}=x_1\ \Rightarrow x_2\ \textgreater \ x_1$ Предполагаем справедливость неравенства для любого $k\ \textless \ n+1$ Доказываем для $x_{n+1}$ : $x_{n+1}=\sqrt{3x_n-2}\ \textgreater \ \sqrt{3x_{n-1}-2}=x_n\ \Rightarrow x_{n+1}\ \textgreater \ x_n$ Монотонный прирост доказан.Ограниченность сверху: $x_n\ \textless \ 2\ \Rightarrow 3x_n\ \textless \ 6\ \Rightarrow3x_n-2\ \textless \ 4\ \Rightarrow\sqrt{3x_n-2}\ \textless \ 2\ \Rightarrow x_{n+1}\ \textless \ 2$ Условие выполняется для $x_1$ , по индукции получаем справедливость для любого $x_n$ .( $x_{n+1}:=\sqrt{...}\ \Rightarrow x_{n+1}\geq 0$ , потому можно извлечь корень)(*) Последовательность монотонна и ограниченна, следовательно сходится к супремуму.Часть II.Определим $l:=\sup\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ . Из (*) следует: $\lim_{n\to\infty}x_n=l$ , но для больших $n\in\mathbb{N}$ выполняется $|x_{n+1}-x_n|\ \textless \ \epsilon$ (Коши), следовательно $\lim_{n\to\infty}x_{n+1}=l$ Подставялем в рекурсию и получаем: $\sqrt{3l-2}=l\ \Rightarrow l^2-3l+2=0\ \Rightarrow l_{1,2}\in\{1,2\}$ Из монотонности и $x_1=\frac{3}{2}$ следует $leq 1$ .Получаем: $l=2$ $\lim_{n\to\infty}x_n=2$ (**) Как я "угадал" верхний предел для доказательства ограниченности в первой части? - Сначала решил часть II, и выбрал подходящее значение. Важно помнить: без части I, часть II не имеет сысла!! Потому доказательство нужно предоставлять именно в таком порядке и в полном объёме.
- Автор:
  beaneph5
- 6 лет назад
- 0
Добавить свой ответ