ТЕМА: ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ. ТЕТРАЭДР И ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД.
Вариант II
1. Прямые a и b лежат в пересекающихся плоскостях α и β. Могут ли эти прямые быть:
а) параллельными;
б) скрещивающимися?
Сделайте рисунок для каждого возможного случая.

2. Через точку О, не лежащую между параллельными плоскостями α и β, проведены прямые l и m. Прямая l пересекает плоскости α и β в точках А1 и А2 соответственно, прямая m – в точках В1 и В2. Найдите длину отрезка А1В1, если А2В2 = 15 см, ОВ1 : ОВ2 = 3 : 5.

3. Изобразите тетраэдр DABC и постройте его сечение плоскостью, проходящей через точки M и N, являющиеся серединами ребер DC и BC, и точку K, такую, что K DA, АK : KD = 1 : 3.
кто быстрее и правильно решит тому даю 99 баллов

Задачи 1 и 2 решены Пользователем Ayl0901Ayl Ученый 1. Плоскости α и β пересекаются по прямой l.а) да, могут. Любая прямая a, проведенная в плоскости α и параллельная прямой l (она существует, т.к. прямая l лежит в плоскости α) будет параллельна любой прямой b, проведенной в плоскости β и параллельной прямой l (она существует, т.к. прямая l лежит в плоскости β).б). да, могут. Возьмем прямую a, лежащую в плоскости α и не параллельную прямой l. Она пересекает прямую l в точке A (обе прямые лежат в одной плоскости α и не параллельны ⇒ имеют ровно одну точку пересечения).Возьмем на прямой l отличную от A точку B. Точка B лежит в плоскости β, т.к. в этой плоскости лежит вся прямая l. Проведем через точку B в плоскости β любую прямую b, не совпадающую с l.Прямые a и b - скрещивающиеся, т.к. они не пересекаются (точки A и B различны, а вне прямой l прямые из плоскостей α и β пересекаться не могут) и не являются параллельными (т.к. плоскости α и β не параллельны, а прямые a и b не параллельны прямой l по построению).2. A₁B₁=9 см.Решение.Прямые l и m пересекаются в точке O по условию. Значит, они определяют плоскость γ, в которой обе и расположены.Плоскость γ пересекает плоскость α по прямой s. Точка A₁, принадлежащая прямой l, также принадлежат и плоскости γ. Но она же принадлежит и плоскости α, т.к. является точкой пересечения прямой l и плоскости α. Значит, точка A₁ принадлежит обеим плоскостям, а значит, и прямой s. Аналогично, точка B₁ принадлежит прямой s. Значит, весь отрезок A₁B₁ принадлежит прямой s, т.е. полностью лежит в плоскости γ.Аналогично, отрезок A₂B₂ полностью принадлежит плоскости γ и прямой t - прямой, являющейся пересечением плоскостей β и γ.Более того, т.к. плоскости α и β параллельны, то секущая их плоскость γ формирует 2 параллельные прямые пересечения s и t. Значит, отрезки A₁B₁ и A₂B₂ параллельны.Все 5 точек лежат в плоскости γ и в дальнейшем можно перейти к решению в одной плоскости, т.е. к планиметрической задаче.Задача:В треугольнике A₂OB₂ через точки A₁ и B₁ на сторонах OA₂ и OB₂ соответственно, проведен отрезок A₁B₁, параллельный основанию треугольника A₂B₂. Определить его длину, если заданы соотношения (см. исходные условия).Решение:Треугольники A₂OB₂ и A₁OB₁ являются подобными.Значит, коэффициент подобия будет равен отношению длин сторон OB₁ и OB₂. Это соотношение задано: 3:5.Значит, все остальные стороны соотносятся также. Т.е. A₁B₁:A₂B₂=3:5.Отсюда A₁B₁=3/5A₂B₂.A₂B₂=15 ⇒ A₁B₁=3/5*15=9 (см).3. Точки M  и N лежат в одной плоскости DBC. Соединяем их, MN - отрезок сечения.Точки М и К лежат в одной плоскости ACD. Соединяем их, МК - отрезок сечения.Найдем точку пересечения прямой КМ с плоскостью АВС. КМ лежит в плоскости ACD, Плоскость ACD пересекается с плоскостью АВС по прямой АС. Значит, точка пересечения КМ и АВС лежит на прямой АС. Это точка О. Прямая ОN пересекает ребро АВ в точке L.KMNL - искомое сечение.