докажите что для любого не отрицательного целого числа n число 5^(2n+3)+8n+3 делится на 16

Совершенно верно.

Методом математической индукции.При n = 1 будетN(1) = 5^(2+3) + 8 + 3 = 5^5 + 11 = 3125 + 11 = 3136 = 16*196 - выполняется.Пусть оно выполняется для какого-то n, тогда для n+1 будетN(n+1) = 5^(2n+2+3) + 8(n+1) + 3 = 5^(2n+3)*5^2 + 8n + 8 + 3 == 5^(2n+3)*25 + 8n + 3 + 8 = 5^(2n+3) + 8n + 3 + 5^(2n+3)*24 + 8 == N(n) + 8*(5^(2n+3)*3 + 1)N(n) делится на 16, 5^(2n+3) - это 5 в нечетной степени, кончается на 5,то есть нечетное, 5^(2n+3)*3 тоже нечетное, (5^(2n+3)*3 + 1) четное.Если четное число умножить на 8, получится число, делящееся на 16.Теорема доказана.