Длины всех сторон прямоугольного треугольника выражаются целы-
ми числами, при этом длина одного из катетов выражается простым
числом, большим 3. Какие остатки при делении на 12 может давать
число, выражающее длину другого катета?

А 5 это что?

5 НЕ ДЕЛИТСЯ на 12. Он так и остается - просто 5.

Чтобы был остаток от деления на 12 нужно найти треугольник у которого МЕНЬШАЯ сторона ПРОСТАЯ ЦЕЛАЯ И БОЛЬШЕ 12. Это получается = 13. Вот нашел такой треугольник 13,84,85. Можно разделить 84/12 и получаем делится на 7 и БЕЗ ОСТАТКА.

А почему в том треугольнике нет остатка, он вить должен быть?

ОСТАТОК ЕСТЬ, но он равен НУЛЮ.

Обычно этот треугольник называют ТРЕУГОЛЬНИКОМ ПИФАГОРА.У него стороны равны 3, 4,5.По теореме Пифагора 9+16=25 - прямоугольный треугольникСледующее простое число больше 3 равно = 5.а стороны треугольника будут5, 12 13. Проверяем 25 + 144 = 169.Так как 13 - это гипотенуза, а катет равен 12, то остатка при делении - нет.Ответ: Катет равен 12. Остатка - нет.