существует ли прямоугольник, стороны которого выражаются натуральными числами, а периметр - простым числом?

Ответ: Нет, не существует. Так как при вычислении периметра сумма сторон умножается на 2, а простые числа не делятся на 2, они делятся лишь на себя и на 1.