При каких значениях с графики функции y=(c-1)x^2+2x+1 и y=-2x^2-2cx-7 имеют ровно одну общую точку?

Одна общая точка  - это точка пересечения графиков  - одинаковая ордината для обоих.

Приравниваем правые части, получаем:

сх^2-x^2+2x+1=-2x^2-2cx-7

(c+1)x^2+2(c+1)x+8=0

D= 0 условие единственности точки

Д= 4(с+1)^2 - 32(c+1) = 0

4c2+8c+4-32c-32=0

4c2-24c-28=0

D= 576+4*4*28=128

c(1)= (24+корень из 128)/8=3+корень из 2

с(2)=(24-корень из 128)/8= 3- корень из 2