Помогите построить график пожалуйста Построить график функции y = (2x^2+1)/x^2 по

Помогите построить график пожалуйста
Построить график функции y = (2x^2+1)/x^2 по следующему алгоритму:
1) Область определения функции
2) Непрерывность функции и её четность(lim y =? при x-> +- ∞)
3) Пересечение с осями координат и точки разрыва (найти точки разрыва с помощью пределов)
4) Асимптоты (вертикальные и наклонные, найти их через пределы)
5) Возрастание, убывание, экстремумы функции(через достаточные условия)
6) Выпуклость, вогнутость и перегибы графика
7) Построить сам график со всеми асимптотами
- Предмет:
  Математика
- Автор:
  lincolncastaneda
- 6 лет назад

Ответы 1

Дано: $y = \frac{2x^2+1}{x^2}$ ;Исследовать функцию и построить график.Решение:1) Функция не определена при обращении в ноль знаменателя, т.е. x ≠ 0 .D(f) ≡ R \ {0} ≡ $( -\infty ; 0 )U( 0 ; +\infty )$ ;2) В функции встречаются только чётные степени аргумента, а значит она чётная. Докажем это: $y(-x) = \frac{ 2(-x)^2 + 1 }{ (-x)^2 } = \frac{2x^2+1}{x^2} = y(x)$ ;Найдём первую производную функции y(x) : $y'(x) = ( \frac{2x^2+1}{x^2} )' = ( \frac{ 2x^2 }{x^2} + \frac{1}{x^2} )' = ( 2 + x^{-2} )' = -2 x^{-3}$ ; $y'(x) = -\frac{2}{x^3}$ ;При x = 0, производная y'(x) – не определена, как и сама функция, при всех остальных значениях аргумента функция и её первая производная определены и конечны, а значит функция непрерывная на всей области определения D(f) – на всей числовой прямой, кроме ноля.3) Функция не определена при x = 0 . Это точка разрыва. При этом её значение стремится к положительной бесконечности, что легко доказать: $\lim_{x \to 0} y(x) = \lim_{x \to 0} \frac{2x^2+1}{x^2} = \lim_{x \to 0} 2 + \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = 2 + \infty = +\infty$ ;Если приравнять функцию к нолю, получим: $y(x) = 0$ ; $\frac{2x^2+1}{x^2} = 0$ ; $2 + \frac{1}{x^2} = 0$ ; $( \frac{1}{x} )^2 = -2$ – что невозможно ни при каких действительных значениях аргумента;Значит, никаких пересечений графика с осями координат нет.4. Найдем асимптоты y(x).По найденному в (3) пределу, ясно, что линия x = 0 – является вертикальной двухсторонней асимптотой графика функции y(x) .Посмотрим, что происходит с функцией y(x) при устремлении аргумента к ± $\infty$ : $\lim_{x \to \infty} y(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2+1}{x^2} = \lim_{x \to \infty} 2 + \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2} = 2 + 0 = 2$ ;Значит, уходя на бесконечность обоих знаков график функции y(x) имеет двунаправленную горизонтальную асимптоту y = 2 ;Наклонных асимптот нет, и не может быть, так как есть горизонтальные с обеих сторон.5. Первая производная функции y(x) : $y'(x) = -\frac{2}{x^3}$ – положительна при отрицательных значениях аргумента и отрицательна при положительных х ;Значит, функция возрастает на $( -\infty ; 0 )$ и убывает на $( 0 ; +\infty )$ ;Уравнение $y'(x) = 0$ т.е. $y'(x) = -\frac{2}{x^3}$ – не имеет решений, а значит, у функции нет экстремумов, т.е. конечных локальных минимумов или максимумов.6. Найдём вторую производную функции y(x) : $y''(x) = (y'(x))' = ( -\frac{2}{x^3} )' = -2 ( x^{-3} )' = -2*(-3)*x^{-4}$ ; $y''(x) = \frac{6}{x^4} > 0$ при любых значениях аргумента ;В силу общей положительности второй производной – график функции всегда «улыбается», т.е. он вогнут, или, говоря иначе: он закручивается против часовой стрелки на всём своём протяжении при проходе по числовой оси аргументов слева направо.Поскольку выгнутость повсеместна, то и точек перегиба не может быть. И их нет, соответственно.7.При х = ± 1 : : : y(x) = 3 ;При х = ± 2 : : : y(x) = 2.25 ;При х = ± 1/2 : : : y(x) = 6 ;Строим график:
- Автор:
  jaedenwf8m
- 6 лет назад
- 0
Добавить свой ответ